PENENTUAN KONSENTRASI SUMBER PENCEMAR KONSENTRASI DIDANAU DENGAN MODEL DIFUSI MENGGUNAKAN METODE ELLIMINASI GAUSS

MATEMATIKA LANJUT (TL-5103)

PENENTUAN KONSENTRASI  SUMBER PENCEMAR KONSENTRASI DIDANAU DENGAN MODEL DIFUSI MENGGUNAKAN

METODE ELLIMINASI GAUSS

Disusun oleh:

Agung Waskito                                   25314307

PROGRAM STUDI TEKNIK LINGKUNGAN

FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN LINGKUNGAN

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

2015

I.  PENDAHULUAN

Latar Belakang

 Difusi merupakan salah satu fenomena yang paling mendasar di alam, merupakan peristiwa di mana terjadi tranfer materi melalui materi lain. Transfer materi ini berlangsung karena atom atau partikel selalu bergerak oleh agitasi thermal. Studi pada proses difusi di sungai dan danau yang banyak digunakan oleh hydrodynamicists, hidrologi dan ilmuwan lingkungan yang terlibat dalam studi masalah polusi air. Waktu perjalanan dari polutan di sungai atau danau, tingkat di mana menyebar polutan, penurunan konsentrasi puncak dan pola konsentrasi yang dihasilkan dari polutan adalah variabel penting yang harus dipahami dengan baik. Walaupun sesungguhnya gerak tersebut merupakan gerak acak tanpa arah tertentu, namun secara keseluruhan ada arah neto dimana entropi akan meningkat. Difusi merupakan proses irreversible.

Air merupakan salah satu komponen yang sangat berperan bagi kehidupan sehari hari, dengan demikian bahwa dapat dipastikan air merupakan salah satu komponen yang paling penting dalam proses kehidupan. Ciri-ciri air yang mengalami pencemaran sangat bervariasi tergantung dari jenis air dan polutannya, biasanya berasal dari padatan, bahan buangan yang membutuhkan oksigen, mikroorgenisme, komponen organik sintetik, nutrien tanaman, minyak, senyawa anorganik, dan bahan radioaktif. (Ferdiaz, 1992)

Terdapat banyak tipe gerak angkutan materi air didalam badan-badan air alami. Energi angin dan gaya berat memberi gerakan pada air yang berujung pada proses transport massa. Konteks gerakan didalam sistem dapat dibagi menjadi dua kategori umum, yaitu adveksi dan difusi. Adveksi dihasilkan oleh aliran yang bersifat unidirectional dan tidak mengubah identitas dari substansi yang sedang mengalir atau terpindahkan.       

Adanya penambahan oksigen melalui proses fotosintetis dan pertukaran gas antara air dan udara menyebabkan kadar oksigen terlarut relatif lebih tinggi di lapisan permukaan. Dengan bertambahnya kedalaman, proses fotosintesis akan semakin kurang efektif, maka akan terjadi penurunan kadar oksigen terlarut sampai pada suatu kedalaman yang disebut “Compensation Depth”, yaitu kedalaman tempat oksigen yang dihasilkan melalui proses fotosintetis sebanding dengan oksigen yang dibutuhkan untuk respirasi (Sverdrup, et al., 1942). Kadar oksigen terlarut yang turun drastis dalam suatu perairan menunjukkan terjadinya penguraian zat-zat organik dan menghasilkan gas berbau busuk dan  membahayakan organisme.

Dari beberapa parameter polutan yang ada tersebut, semuanya memiliki kemungkinan untuk melakukan difusi dalam menyeimbangkan besaran konsentrasi dari suatu titik ke titik lain. Hal ini menyebabkan kontaminan yang terlarut mempunyai kecenderungan untuk menyamakan konsentrasi dalam sistem, yaitu bergerak dari konsentrasi yang tinggi menuju daerah dengan konsentrasi yang lebih rendah. Difusi akan terus terjadi sampai gradien konsentrasi menjadi nol atau tidak ada perbedaan konsentrasi di dalam sistem, walaupun tidak ada pergerakan air atau fluida dimana kontaminan tersebut berada. Massa dari kontaminan atau solute yang terdifusi akan sebanding dengan gradien konsentrasi (Notodarmojo, 2005).

Menurut FDI (2004) Permasalahan utama danau-danau di seluruh dunia adalah erosi dan sedimentasi danau akibat dari penebangan hutan di hulu serta perubahan alih fungsi lahan di sekitar danau. Sedimentasi berakibat pada pendangkalan danau yang menurunkan kapasitas cadangan air. Permasalahan lainnya adalah menurunnya kualitas air akibat dari kandungan hara yang tinggi pada suatu perairan danau. Kandungan hara yang berlebih mendorong pertumbuhan ganggang yang sangat pesat sehingga mengganggu kestabilan ekosistem danau. Dari permasalahan inilah dapat dicermati beberapa parameter yang berhubungan erat dari permasalah tersebut.   

Salah satu parameter pencemaran suatu perairan adalah oksigen terlarut. Oksigen dimanfaatkan oleh organisme perairan untuk proses respirasi dan menguraikan zat organik menjadi zat an-organik oleh mikro organisme. Oksigen terlarut dalam air berasal dari difusi udara dan hasil fotosintesis organisme berklorofil yang hidup dalam suatu perairan dan dibutuhkan oleh organisme untuk mengoksidasi zat hara yang masuk ke dalam tubuhnya  Kadar oksigen terlarut yang turun drastis dalam suatu perairan menunjukkan terjadinya penguraian zat-zat organik dan menghasilkan gas berbau busuk dan membahayakan organisme (Simanjutak, 2007).

Tujuan

Tujuan dari penulisan makalah ini adalah untuk mencari nilai konsentrasi sumber pencemar di danau dengan metode eliminasi gauss

II.  TEORI DASAR

          Penentuan nilai konsentrasi dissolved oxygen, total dissolved oxygen, ammonia, nitrat, dan fosfat dengan berdasarkan data fluks massa yang didapat dengan menggunakan persamaan rumus Hukum Fick, dijabarkan sebagai berikut:

J = - D                                              (Pers 1)

Dimana J merupakan fluks massa dari solute atau kontaminan, D adalah koefesien difusi, yang dalam hal ini nilainya diasumsikan sama sebesar 10^-4.  adalah konsentrasi kontaminan dan  adalah jarak konsentrasi yang dalam hal ini merupakan perbedaan kedalaman danau.  Menurut literatur, pada Persamaan 1 Hukum Fick pertama menyatakan bahwa mass flux akibat difusi berbanding lurus atau proporsional terhadap gradient konsentrasi, yaitu turunan konsentrasi terhadap jarak. Tanda negatif pada suku kanan persamaan 1 menunjukan bahwa gerakan kontaminan adalah dari lokasi atau titik dengan konsentrasi yang lebih tinggi menuju ke lokasi yang lebih rendah. Maka dengan menggunakan Hukum Fick dan data fluks massa dari penelitian Banadda (2011) dapat dihitung besaran konsentrasi dari dissolved oxygen.

Sistem Persamaan Linier

Di dalam matematika, system persamaan linier  adalah kumpulan persamaan-persamaan linier  yang memiliki variabel-variabel yang sama. Bentuk umum dari sistem persamaan linier dengan n peubah dinyatakan sebagai berikut:

Dengan mengunakan perkalian matriks, kita dapat menulis persamaan di atas sebagai persamaan matriks

 Ax = b

Yang dalam hal ini,

Yaitu:

      

Setelah menemukan persamaan matrik dengan persamaan linier kemudian mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya.. Metode ini berangkat dari kenyataan bahwa bila matriks A berbentuk segitiga atas (menggunakan Operasi Baris Elementer) seperti system persamaan berikut ini:

Setelah matrik yang diatas dijadikan nol maka dilanjutkan dalam menentukan x, x1, x2,x3 dengan cara Maka solusinya dapat dihitung dengan teknik penyulingan mundur  (backward substitution):

Kondisi   sangat penting. Sebab bila  , persamaan diatas menjerjakan pembagian dengan nol. Apabila kondisi tersebut tidak dipenuhi, maka SPL tidak mempunyai jawaban.

III.  PEMBAHASAN

Data yang terdapat dalam studi ini adalah data yang terdapat pada jurnal Modeling Diffusive  

 Flux of Non Point Source Pollutans in Lake Victoria: A Comparison Study of Fick’s Law and

The Fokker-Planck Law.:

Koefesien Difusi, D = 10^-4 m²/detik

δz = 0,5

dan nilai J sesuai dengan hasil grafik pada jurnal.

Rumus yang digunakan dalam penelitian ini menggunakan Hukum Fick’s dalam menghitung Difusi Polutan. Adapun rumus tersebut dapat dilihat di bawah ini:

J = - D

Keterangan:     J = Flux Density

                        D = Koefesien Difusi

                         = Konsentrasi Unit

                         = Jarak Konsentrasi

Nilai negatif (-) pada D menandakan bahwa gerakan kontaminan berasal dari konsentrasi yang lebih tinggi ke lokasi yang lebih rendah

Perhitungan Dissolved Oxygen

Contoh Perhitungan Nilai Dissolved Oxygen (DO) pada terpadat jurnal

Pada jarak horizontal 10 meter dengan nilai J sebesar 126 x 10⁵ mgL^-1m^-2s^-1 dan dengan kedalaman pada jarak 0,5  meter,

J = - D

   =  

       = 0,5 m

       = 6,3 x 10¹⁰ mgL^-1m^-3

Sehingga dengan menggunaan rumus perhitungan ini, maka didapatkan hasil DO menurut kedalaman dan point jarak horizontal yang dijabarkan pada tabel di bawah ini. 

Point	J	D	dz	dC
10 m	126 x 105	10-4	0.5	6,3 x 1010
20 m	128 x 105	10-4	0.5	6,4 x 1010
30 m	136 x 105	10-4	0.5	6,8 x 1010
40 m	143 x 105	10-4	0.5	7,1 x 1010
50 m	145 x 105	10-4	0.5	7,2 x 1010

Nilai DO pada Danau  menurut Hukum Fick’s berdasarkan grafik jurnal

Maka setelah data data yang ada dalam jurnal itu dihitung didapatkan data data yang siap dimasukkan dalam eliminasi gauss seperti table dibawah ini

Distance (m)	DO (0.5)
10	6.3
20	6.4
30	6.8
40	7.1
50	7.2

Kemudian dimasukkan kedalam persamaan linier sehingga didapatkan anggka angka seprti dibawah ini

1	10	100	1000	a0	6.3
1	20	400	8000	a1	6.4
1	40	1600	64000	a2	7.1
1	50	2500	125000	a3	7.2

Selanjutnya kita akan menolkan baris pertama sehingga didapatkan angka angka seperti dibawah ini

1	10	100	1000	a0	6.3
0	10	300	7000	a1	0.1
0	20	1200	56000	a2	0.7
0	10	900	61000	a3	0.1

Kemudian baris kedua di nol-kan sama seperti langkah diatas

1	10	100	1000	a0	6.3
0	10	300	7000	a1	0.1
0	0	600	42000	a2	0.5
0	0	300	33000	a3	-0.25

Dan terakhir kita harus menol-kan baris ketiga dimana setelah menolkan baris ketiga maka

1	10	100	1000	a0	6.3
0	10	300	7000	a1	0.1
0	0	600	42000	a2	0.5
0	0	0	12000	a3	-0.5

Setelah matrik yang diatas dijadikan nol maka dilanjutkan dalam menentukan x, x1, x2,x3 dengan mencari cara untuk mendapatkan nilai dari variable tersebut, maka solusinya dapat dihitung dengan teknik penyulingan mundur  (backward substitution) maka didapatkan hasil perhitungan:

Dan didapatkan hasil sepertti pada table dibawah ini

X	6.7
X1	-0.07333
X2	0.00375
X3	-4.2E-05

Sehingga setelah kita dapatkan persamaan  X+X¹+X²+X³=0 kita dapat dengan mudah menentukan sumber percemar di danau tersebut. Sebagai contoh kita menentukan sumber pencemar pada jarak 45 meter dan di dapatkan perhitungan sesuai persamaan di atas maka 

X+(X.45)+(X.45.45)+(X.45.45.45) = 7.196875

IV.       KESIMPULAN

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Metode Eliminasi Gauss adalah salah satu cara yang paling awal dan banyak digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan linier, Pada Eleminasi Gauss, persamaan dasar diubah menjadi matriks triangulasi dengan me-nol-kan unsur matriks segitiga bawah. Eleminasi Gauss terdiri dari dua langkah :Forward Elimination of Unknowns dan Back Substitution. Metode eliminasi gauss ini dapat digunakan sebagai dasar penentuan sumber pencemar sehingga dapat memudahkan para peneliti dalam pendeteksian sumber percemar sehingga dapat bermanfaat dalam dunia ilmu pengetahuan

V. REFERENSI

(1). Banadda, N., Ayaa, F., Wali, U.G., Kimwaga, R.j., Mashauri, D.A. 2011. Modeling Diffusive  

       Flux of Non Point Source Pollutans in Lake Victoria: A Comparison Study of Fick’s Law and

       The Fokker-Planck Law. The Open Environmental Journal. Vol 4, 105-111.

(2).  http://millatulkhaniifah28.blogspot.com/2012/11/metnum-ceria.html

        Di akses tanggal 23 april 2015

(3).  http://fauziahnurulhakiqi.blogspot.com/2013/12/metode-numerik-metode-eliminasi-

        gauss.html

        Di akses tanggal 23 april 2015